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5.5.3  離散方程的求解

在計算出無粘通量和粘性通量后，代入（5-14）式可得到半離散的差分方程：

方程（5-24）可以采用顯式或隱式的方法進行求解。但是由于受時間步長的限制，采用顯式的R-K時間推進方法需要迭代的步數較多，計算很不經濟，因此本文采用了Gauss-Seidel迭代隱式求解的方法。

式（5-24）在時間方向采用Euler后向差分，有

對方程（5-25),采用Gauss-Seidel點迭代法隱式求解。

5.5.4  邊界條件

在邊界處理方面，采用傳統的邊界處理方法。

1.計算域的入口采用入流條件，亞聲速時給定總壓、總溫和速度的方向，其他參數值由內點外推；超聲速時給定邊界上的所有參數值。

2.計算域的出口采用出流條件，亞聲速的時候在出口截面上給定環(huán)境壓力，其他參數值由內點外推，超聲速出流邊界不提任何條件；

3.對稱軸處采用軸對稱條件，對稱軸上法向速度為O，其他參數值一階偏導為O；

4.固壁采用無滑移固壁條件，u=v=w=O；

5.人工邊界用無反射邊界條件。

其中無反射邊界條件是根據特征線的方法來求出邊界上的參數值。根據一維完全氣體無粘非定常運動的方程組，在亞聲速的條件下由邊界上的入射波和出射波關系可以得到兩個Riemann不變量：

其中V_n為沿邊界法向的速度分量，c為當地聲速，下標∞表示無窮遠處的參數值，下標i表示計算域內緊鄰邊界的點的參數值。

無窮遠處的參數值為已知，計算域內的參數值可以通過內點的計算得出，因此我們可以得到邊界上的沿邊界法向方向的速度分量和當地的聲速值：

邊界上的沿邊界切向方向的速度分量和熵的值可以通過內點外推得到。

5.6  結果分析

圖5-2是第二章穩(wěn)態(tài)裂紋擴展計算得到的管道壁道面在某一瞬時的變形狀態(tài)。

圖5-3是以圖5-2為依據建立的流場計算網格。設計參數為：裂紋擴展速度200m/s，管道外徑1016mm，壁厚14.7mm，內壓10MPa。

外部流場區(qū)域選取范圍為3m×5m。輸送介質選用天然氣的主要成分甲烷，初始外流場設定為空氣。遠場壓力定義為大氣壓。在底部和側面應用對稱邊界條件。計算段管道全長為35m，裂尖位于距軸向對稱面18.88m處。管壁的擴張速度按照第二章的計算結果作為流場的運動壁面邊界條件。

計算的結果揭示了一些重要的現象。

圖5-4給出了XZ對稱面上的馬赫數分布。管道中的流動在裂尖出口處達到超聲速，而在對稱面附近發(fā)生了強烈的回流。標示為B的位置壓力和密度發(fā)生了強間斷，意味著出現了激波。

為了進一步觀察XY截面上的速度，圖5-5繪出了圖5-4中標示的A-A截面的速度分布。

矢量箭頭表示的是X-Y面內速度分量的方向，等值線表示三維流動區(qū)域中的速率大小。從圖上可以看出外部流場的速度分布沿Y方向從中心到兩側速度迅速降低。在距管道中心五倍遠的外流場，氣流速度仍可達到671m/s。

圖5-5右側的放大截面上標出了A至E的五個點。保持各點的X坐標不變，變化Z坐標，可在管壁上分別劃出對應于截面上不同位置的軸線。

由于管道內壁處的氣體靜壓等于該處管道承受的壓力，圖5-6和圖5-7中A-E各點沿Z向的氣體靜壓變化反映了管道承受壓力的軸向衰減規(guī)律。兩圖中的初始內壓分別為10MPa和8MPa。

與線性衰減模式（2-47）（某估算結果在圖5-6中用點劃線標出）相比，計算得到的靜壓衰減結果揭示了幾個重要問題。

其一是回流區(qū)的發(fā)現。在軸向兩側擴展裂紋的對稱面附近發(fā)現了強烈的回流，這在裂紋擴展初期將導致管壁的裂紋后端的抖動，從而對裂紋驅動力起到重要影響。隨著裂尖位置的不斷前移，回流區(qū)的壓力將逐漸衰減到大氣壓值。

其二是回流區(qū)的位置。計算表明，回流區(qū)寬度隨管道工作壓力的升高而增長，隨裂尖位置的前移而減小。

其三是衰減區(qū)的壓力變化。氣流通過裂紋尖端時，管壁上作用的氣體壓力沿軸向迅速衰減，經驗公式（2-47）中所用的衰減長度一般取為1.5倍管道直徑，最終衰減到零。計算表明衰減長度隨管道工作壓力的升高而增加，并且衰減區(qū)壓力的最低值與管道的工作壓力相關。由于對裂紋的擴展狀態(tài)影響甚微，裂尖前部的壓力不是關心的對象。

此外，本文計算與公式（2-46）基本相符，這和全尺寸爆裂實驗得到的結果是一致的。在（2-46）的基礎上，本文提出以下的修正壓力衰減模式以替代（2-47）進行計算：

通過多種工況驗證，該模式與計算結果吻合良好。

另外，通過和意大利CSM的實測管理壓力曲線圖5-8相比較，證明圖5-6和圖5-7從趨勢上是成立的。

5.7  本章小結

本章以有限體積法為基礎，對非定常可壓縮的Navier-Stokes方程進行了離散和求解。網格的劃分采用非結構性網格，無粘通量采用Roe矢通量分裂，差分格式為二階精度，時間離散采用Guass-Seidel隱式迭代，在人工邊界上采用基于特征線法的無反射邊界條件。

對含動態(tài)裂紋的高壓輸氣管道的流場模擬結果表明，氣體壓力模式（2-46）和(2-47）式在裂紋充分發(fā)展至不考慮回流區(qū)影響的條件下，對高壓高韌性管道仍然成立

回流區(qū)的發(fā)現對裂紋開始擴展不久的一段時間內的裂紋驅動力起重要影響，對于判定止裂點的位置有著重要的工程意義。（5-29）和（5-30）式可直接應用于有限元程序以提高裂紋擴展與止裂的模擬精度。

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